Nadila Danti Lestari: KALKULUS 1

Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh,

Nama : Nadila Danti Lestari

NIM : 202031038

Kelas : B

Dosen pembimbing : Ibu Efy Yosrita S.Si., M.Kom.

Fakultas Telematika Energi

Program Studi. : Teknik Informatika

KALKULUS 1

Apa itu kalkulus? buat apa sih belajar kalkulus? Sulit ga sih?

Kalkulus berasal dari bahasa latin yaitu calculus yang artinya "batu kecil", untuk menghitung. Jadi kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu yang mempelajari perubahan, sebagaimana geometri yang mempelajari bentuk dan aljabar yang mempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan persamaan.

Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Jadi kalkulus itu tidak terlalu sulit, tapi kalau kita memiliki rasa ingin memahami dan tekun dalam belajar pasti kita akan lebih mudah dalam mengerti, begitu kata kakak tingkat yang pernah belajar mata kuliah kalkulus.

SISTEM BILANGAN (REAL)

Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks merupakan bilangan yang terdiri atas bilangan riil dan bilangan imajiner yang dilambangkan dengan a + ib. Dengan a dan b merupakan bilangan real.

Bilangan tersebut menjadi bilangan kompleks sebab keberadaan “i” atau dapat disebut sebagai bilangan imajiner. Pada bilangan kompleks berbentuk a+ib, bagian “a” merupakan bagian real, sedangkan “ib” merupakan bagian imajinernya.

Bilangan kompleks terbagi menjadi dua yaitu Bilangan riil dan bilangan imajiner :

1. Bilangan Imajiner (i)

Bilangan imajiner adalah bilangan yang didefinisikan dengan i² = -1, dengan i merupakan simbol angka imajiner. Bilangan i dalam bahasa inggris disebut juga imaginary number.

2. Bilangan Real (R)

Bilangan riil atau bilangan real adalah sistem bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimal. Angka desimal adalah angka berbasis 10 yang dibentuk dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ahli matematika mendefinisikan notasi bilangan real sebagai simbol R.

Contoh : -2, 3, 0, 0,75

Bilangan real terbagi menjadi dua yaitu Bilangan Irrasional dan Rasional :

• Bilangan Irasional (I)

Bilangan irasional merupakan suatu bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b (a per b). Berbeda dari bilangan rasional, bilangan irasional merupakan bilangan dengan bentuk desimal yang tidak berhingga.

Contoh: √2, π, dan e

-Bilangan π = 3,14 atau π = 22/7 penggunaannya belum tepat karena nilai π yang sebenernya yaitu 3,141592653589793… .

-Bilangan eksponensial (e) merupakan konstanta dengan nilai 2,7182818…

• Bilangan Rasional (Q)

Bilangan rasional adalah sebuah bilangan yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk sembarang pecahan a/b (a per b), dengan ketentuan seperti, a dan b adalah bilangan bulat di mana bilangan a melambangkan pembilang dan b merupakan penyebut bilangan rasional, dan juga b ≠ 0. Jika penyebut dari bilangan pecahan atau rasional ini bernilai 0, maka bilangan ini menjadi tidak terdefinisi.

Contoh : ¼, 5, 0,16, 20

Bilangan Rasional terbagi menjadi 2 yaitu :

-Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan rasional yang dapat ditulis dalam bentuk a/b (a per b) atau dengan kata lain mempunyai pembilang dan penyebut, yang dimana a dan b merupakan bilangan bulat, b tidak sama dengan nol, dan bilangan a bukan kelipatan bilangan b.

Bilangan pecahan terbagi menjadi 2 yaitu :

1. Pecahan berulang

Contoh : 0,66..... = 4/6

2. Pecahan berhenti

Contoh : 0,5 = ½

- Bilangan Bulat (Z)

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Bilangan bulat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Contoh : -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

Bilangan bulat terbagi menjadi 2 yaitu :

1). Bilangan bulat negatif (-) merupakan bilangan yang terletak disebelah kiri angka nol (0) pada sebuah garis bilangan.

Contoh : -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8...dst.

2). Bilangan cacah (W)

Bilangan cacah adalah himpunan bagian dari bilangan bulat yang dimulai dari angka 0 dan dilanjutkan dengan bilangan bulat positif, yaitu {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}.

Bilangan cacah terbagi menjadi dua yaitu :

-Bilangan Nol

-Bilangan asli merupakan bilangan yang terletak disebelah kanan angka nol pada sebuah garis bilangan.

Contoh : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8....dst.

Bilangan asli terbagi menjadi 4 yaitu :

-)Bilangan komposit : bagian dari bilangan asli yang memiliki lebih dari 2 faktor, sehingga bilangan komposit dapat dibagi lagi oleh bilangan lain selain angka 1 dan bilangan itu sendiri.

Contoh : 4, 6, 8, 9

-) Bilangan prima : Bilangan prima adalah bilangan lebih dari 1 dan hanya bisa dibagi dengan angka 1 atau bilangan itu sendiri.

Contoh : 2, 3, 5, 7...

-) Bilangan genap : 2, 4, 6, 8...

-) Bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9...

Operasi Bilangan :

1) Hukum komutatif: x + y = y + x dan xy = yx.

2) Hukum asosiatif: x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z.

3) Hukum distributif: x(y + z) = xy + xz.

4) Elemen-elemen identitas:

Terhadap penjumlahan: 0 sebab x + 0 = x.

Terhadap perkalian: 1 sebab x.1 = x.

5) Invers (balikan): Setiap bilangan real x mempunyai invers aditif (disebut juga negatif) –x yangmemenuhi x + –x = 0 dan setiap bilangan real x yang tidak nol mempunyai invers multiplikatif (disebut juga balikan) yaitu x−1 yang

memenuhi x. x−1 = 1.

Sifat-sifat yang ada pada bilangan riil

Sifat-sifat urutan:

1) Trikotomi yaitu jika x dan y elemen bilangan-bilangan riil maka berlaku sebagai berikut:

x < y atau x = y atau x > y

2) Ketransitifan yaitu jika :

x < y dan y < z maka x < z

3) Penambahan yaitu jika :

x < y ⇔ x + z < y + z

4) Perkalian yaitu :

Jika z positif maka x < y ⇔ xz < yz

Jika z negatif maka x < y ⇔ xz > yz

Rabu, 17 Maret 2021

Pertidaksamaan

dan

Nilai Mutlak

1. Pengertian Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan antara dua hal hubungan yang tidak memiliki kesamaan atau tidak sama dengan, serta memakai berbagai tanda seperti:

< (kurang dari)

≤ (kurang dari atau sama dengan

> (lebih dari)

≥ (lebih dari atau sama dengan)

2. Sifat-Sifat Pertidaksamaan

1. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.

Jika a < b maka :

a + c < b + c

a – c < b – c

2. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka :

a.c < b.c

a/b < b/c

3. Tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

a.c > b.c

a/c > b/c

4. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a² < b²

3. Jenis-jenis pertidaksamaan

1). Pertidaksamaan linear

2). Pertidaksamaan Kuadrat

3). Pertidaksamaan Pangkat Tinggi

4). Pertidaksamaan Pecahan

5). Pertidaksamaan bentuk akar (Irrasional)

6). Persamaan Nilai Mutlak

Berikut adalah beberapa jenis dari pertidaksamaan :

1. Pertidaksamaan linear

Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan yang di mana salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier di dalam x.

Pertidaksamaa terbagi menjadi dua yaitu :

a. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)

Pertidaksamaan linear satu variabel merupakan suatu kalimat terbuka yang hanya mempunyai satu variabel dan berderajat satu serta memuat hubungan (<,>, ≥ atau ≤ ).

Tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan linier satu variabel, diantaranya yaitu:

Sifat Pertidaksamaan Linear Satu Variabel dapat dilakukan dengan cara Subtitusi, mengurangkan, menjumlahkan, mengkali, ataupun membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan yang sama.

Pertidaksamaan A < B ekuivalen dengan:

A + C < B + C

A – C < B – C

A x C < B x C, bila C > 0 untuk seluruh x

A x C > B x C, bila C < 0 untuk seluruh x

A/C < B/C, bila C > 0 untuk seluruh x

A/C > B/C, bila C < 0 untuk seluruh x

Perlu kalian catat, beberapa sifat di atas juga berlaku untuk lambang “>” atau “<”.

Contoh :

x + 6 ≥ 8

x + 6 – 6 ≥ 8 – 6

x ≥ 2

b. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan suatu kalimat terbuka matematika yang di dalamnya memuat dua variabel. Dengan masing-masing variabel berderajat satu serta dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan (>, <, ≤, atau ≥).

Maka, bentuk dari pertidaksamaan linear bisa kita tuliskan seperti berikut ini:

ax + by > c

ax + by < c

ax + by ≥ c

ax + by ≤ c

Tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel, diantaranya yaitu:

1). Ubahlah tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), sehingga diperoleh persamaan linear dua variabel.

2). Lukis grafik/garis dari persamaan linear dua variabel tadi. Hal ini dapat dilakukan dengan menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dari persamaan atau menggunakan dua titik sembarang yang dilalui oleh garis. Garis akan membagi dua bidang kartesius.

3). Lakukan uji titik yang tidak dilalui oleh garis (substitusi nilai x dan y titik ke pertidaksamaan). Jika menghasilkan pernyataan yang benar, artinya daerah tersebut merupakan penyelesaiannya, namun apabila menghasilkan pernyataan salah maka bagian lainnya lah yang merupakan penyelesaiaanya.

Contoh :

Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel berikut

3x + y < 9

Grafik Penyelesaian :

(Garis putus-putus digunakan menunjukkan tanda ketidaksamaan < atau > dengan kata lain tanda ketidaksamaan tanpa sama dengan).

Uji titik (0, 0)

3(0) + 0 < 9

0 < 9 (benar)

Karena pernyataannya menjadi benar, maka (0, 0) termasuk penyelesaianya. Sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan penyelesaianya. Dalam hal ini yang daerah bersih merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan.

2. Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah bentuk “penghubung”antara ruas kanan dan kiri merupakan penggunaan tanda pertidaksamaan seperti kurang dari (<), kurang dari sama dengan (≤), lebih dari (>) serta lebih dari sama dengan (≥) dengan pangkat tertinggi adalah 2.

Tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, diantaranya yaitu:

1). Ruas kanan dibuat menjadi nol

2). Faktorkan

3). Menentukan titik uji

4). Menentukan tanda untuk masin-masing daerah penyelesain

5). Menentukan himpunan penyelesaian

• Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol.

1. Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •

2.Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °

• Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.

•Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda.

Cara menentukan himpunan penyelesaian :

- Jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+).

- Jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–).

Contoh :

3. Pertidaksamaan Pangkat Tinggi

Pertidaksamaan Pangkat Tinggi merupakan pertidaksamaan dengan derajat lebih dari dua.

bentuk dari “penghubung” antara ruas kanan dan kiri meliputi diantaranya yaitu: kurang dari (<), kurang dari sama dengan (≤), lebih dari (>) dan lebih dari sama dengan (≥).

Tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan pangkat tinggi, diantaranya yaitu:

1). Memindahkan seluruh suku ke dalam satu ruas, yaitu pindahkan pada ruas kiri sehingga tidak akan menyisakan suku atau bersisa nol pada ruas kanan.

2). Memfaktorkan bentuk tersebut ke dalam bentuk dengan derajat lebih rendah.

3). Buat garis bilangan dan tentukan Himpunan penyelesaiannya.

Contoh :

4. Pertidaksamaan Pecahan

Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang terdiri dari pembilang dan penyebut, pertidaksamaan pecahan ini berbentuk hampir sama dengan pecahan pada bilangan real. Bentuk umumnya juga masih sama dengan pertidaksamaan sebelumnya yang terdiri dari: kurang dari (<), kurang dari sama dengan (≤), lebih dari (>) dan lebih dari sama dengan (≥).

Bentuk baku dari pertidaksamaan pecahan yaitu :

Berikut ini adalah tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan pecahan, diantaranya yaitu:

1). Ruas kanan dijadikan nol

2). Samakan penyebut di ruas kiri

3). Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)

4). Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)

5). Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah

• Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai).

• Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval.

Contoh :

5. Pertidaksamaan bentuk akar (Irrasional)

Pertidaksamaan bentuk akar adalah pertidaksamaan yang variabelnya terdapat dalam tanda akar.

Pertidaksamaan mempunyai bentuk baku yaitu :

Berikut ini adalah tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan pecahan, diantaranya yaitu:

1). Menguadratkan kedua ruas.

2). Pengecekan syarat akar, di mana kita akan memastikan apabila fungsi di dalam akar pangkat dua haruslah bernilai positif atau sama dengan nol begitu juga dengan konstanta di ruas lainnya.

3). Tentukan interval yang memenuhi penyelesaiannya, Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval

Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai).

Contoh :

6. Persamaan Nilai Mutlak

Persamaan Nilai Mutlak adalah suatu nilai mutlak dari sebuah bilangan yang dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya.

Nilai mutlak atau modulus adalah nilai suatu bilangan riil tanpa adanya tanda tambah (+) atau kurang (–).

Nilai Mutlak

Nilai mutlak adalah Bilangan real x, yang dinyatakan dengan Variabel yang berada di dalam tanda mutlak |x|.

Didefinisikan dengan :

Contoh :

Contoh soal tambahan :

DAFTAR INTERVAL :

Cara menentukan Garis bilangan :

1. Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •

2.Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °

• Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.

Rabu, 24 Maret 2021

FUNGSI

Fungsi adalah relasi yang menghubungkan elemen himpunan pertama (domain) secara tunggal pada elemen himpunan yang lain (kodomain). Artinya fungsi tidak akan pernah memiliki dua pasangan yang terdiri dari elemen pertama yang sama. Penulisan fungsi dilambangkan dengan :

f : x -> y

Dibaca “ f adalah fungsi dari x ke y”. Anggota y yang menjadi pasangan x oleh f disebut bayangan x dan ditulis Y = f(x).

Istilah – Istilah Dalam Fungsi :

• Domain = daerah asal fungsi f (dilambangkan dengan Df)

• Kodomain = daerah kawan fungsi f (dilambangkan dengan Kf)

• Range = daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi f (dilambangkan dengan Rf)

• Variabel = simbol yang melambangkan faktor tertentu

• Variabel bebas =tidak tergantung pada variabel lain

• Variabel terikat=tergantung pada variabel lain

• Koefisien = angka pembentuk fungsi yang terkait pada variabel dalam sebuah fungsi

• Konstanta = angka yang kadang-kadang menjadi pembentuk fungsi,

• tidak terikat pada variabel

Sifat-sifat Fungsi

Berikut sifat-sifat fungsi :

1. Fungsi injektif (satu-satu)

Jika fungsi f : A → B, setiap b ∈ B hanya mempunyai satu kawan saja di A, maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif.

2. Fungsi surjektif (onto)

Pada fungsi f : A → B, setiap b ∈ B mempunyai kawan di A, maka f disebut fungsi surjektif atau onto.

3. Fungsi Bijektif (Koresponden satu-satu)

Pada fungsi f : A → B, dapat disebut fungsi bijektif apabila fungsi f adalah fungsi injektif sekakigus surjektif. Maka dapat dikatakan berada dalam koresponden satu-satu.

A. Macam-macam fungsi

Secara umum, dapat dikatan fungsi terdiri dari fungsi aljabar, fungsi transenden, fungsi khusus :

1. Fungsi aljabar

a. Fungsi irasional

b. Fungsi rasional

1) Fungsi linier

2) Fungsi polinom

3). Fungsi kuadrat

4). Fungsi pecahan

5). Fungsi kubik

2. Fungsi Transeden

1). Fungsi eksponen

2). Fungsi logaritma

3). Fungsi trigonometri

3. Fungsi khusus

1). Fungsi konstan

2). Fungsi identitas

3). Fungsi modulus

4). Fungsi genap dan ganjil

5). Fungsi tangga

6).Fungsi banyak persamaan

Berikut beberapa penjelasannya :

1. FUNGSI ALJABAR

Fungsi aljabar yaitu fungsi yang menggunakan operasi-operasi penjumlahan, pengurangan perkalian, pembagian, dan penarikan akar.

Fungsi aljabar terbagi menjadi :

a. Fungsi irasional, yaitu fungsi yang variabel bebasnya terdapat dibawah tanda akar.

b. Fungsi rasional , yaitu fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan bulat. Fungsi rasional meliputi fungsi :

1). Fungsi Linier

Fungsi linear merupakan sebuah fungsi yang dimana variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi yang grafiknya adalah garis lurus. Oleh sebab itu fungsi linier sering disebut sebagai persamaan garis lurus (pgl). Dengan bentuk umum f(x) = ax+b, dimana a tidak sama dengan 0 dan b adalah bilangan konstan.

Contoh :

f(x) = 2x + 3

Tabel :

Grafik :

2). Fungsi Polinom

Fungsi polinom adalah suatu variabel bebasnya mengandung banyak suku (polinom).

Bentuk umum : y = anx~ + … + a2x2 + a1x + a

Contoh :

Gambarlah grafik fungsi y = x⁴ – 4 – 5

Titik potong dengan sumbu x (y = 0):

x⁴– 4 – 5 = 0

(– 5)( + 1) = 0 (faktorial)

– 5 = 0 atau + 1 = 0

x1= 5 atau x2 = –1

karena x2 = –1 tidak memenuhi untuk x bilangan Real, maka yang digunakan x² = 5 → x = ±√5. Jadi, titik potong dengan sumbu-x: (√5, 0) dan (–√5, 0)

Titik potong dengan sumbu-y (x = 0):

y = 04 – 4(0)² – 5 = –5

Jadi, titik potong dengan sumbu-y: (0, –5)

Titik ekstrim (y’ = 0)

y’ = 0

4 – 8x = 0

4x (– 2) = 0

4x = 0 atau – 2 = 0

x = 0 atau x = ±√2

Untuk x = 0 → y = 0x4 – 4(0 – 5 = –5

Untuk x = –√2 → y = (–√2)4 – 4(–√2 – 5 = 4 – 4(2) – 5 = –9

Untuk x = √2 → y = (√2)4 – 4(√2 – 5 = 4 – 4(2) – 5 = –9

Jadi, titik-titik ekstrimnya: (0, –5), (–√2, –9), (√2, –9)

Grafik :

3). Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah Suatu fungsi disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = a + bx + c dimana a tidak = 0 dan a, b, c bilangan konstan dan grafiknya adalah parabola dengan pangkat tertingginya adalah dua.

Contoh :

Grafik :

4). Fungsi Pecahan

Fungsi yang terbentuk dari pecahan atau terdiri dari pembilang dan penyebut.

Contoh :

5). Fungsi Kubik

Fungsi kubik adalah fungsi pangkat tiga yang memiliki bentuk :

f(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D = 0

Dengan A bernilai tidak 0, A, B, C, D adalah bilangan Rill. Jika A<0 maka grafik terbalik, selain itu semakin kecil nilai A maka kurva akan semakin melebar.

Cara membuat grafik fungsi kubik :

Pada fungsi kubik f(x)=a(x-h)³ + k dengan a≠0, a mempengaruhi grafik tanpa mengubah bentuk fundamentalnya, yaitu jika a<0 maka grafik terbalik. Selain itu, semakin kecil nilai a nya maka kurva semakin melebar.

Contoh :

Sketsalah grafik f(x) = (x-2)³ + 4!

Jawab :

Cara 1 :

Dari fungsi (x-2)³ + 4 diketahui titik infleksinya (2,4)

Grafik (x-2)³ + 4 diperoleh dari grafik fungsi f(x) = x³ oleh translasi 2 satuan di sumbu-x arah positif dan 4 satuan di sumbu-y arah positif.

Grafik :

2. FUNGSI TRANSENDEN

Fungsi transenden merupakan fungsi yang tidak mengandung aljabar. Fungsi transenden dibagi menjadi:

1). Fungsi Eksponen

Fungsi Eksponen adalah fungsi yang variabel bebasnya berupa pangkat dari suatu konstanta dalam persamaan fungsi tersebut.

Bentuk umum : y = ax.

Dengan, a>0 dan x adalah bilangan real.

Cara menggambar grafik pada fungsi eksponen :

•Ambil beberapa titik absis (x)

•Tentukan nilai ordinat (y) sekaligus titik koordinatnya

•Tentukan letak titik koordinat yang di proleh dalam bidang kartesius

•Hubungkan titik-titik yang diproleh sehingga membentuk kurva mulus

Contoh bentuk soal : f(x) = 2.

Jawab : absis x = 2

f(x) = 2.

= 2/3

Jadi, x = 2, y = ⅔

2). Fungsi Logaritma

Fungsi Logaritma adalah invers fungsi peubah bebasnya berupa bentuk logaritma dan fungsi eksponen. Karena adanya hubungan kesetaraan sifat eksponen dan logaritma y = alog x = ax.

Bentuk umum : y = a log x atau = b -> x = a log b, b>0, a>0, dan a tidak = 1.

dengan,

a = bilangan pokok

b = numerus

x = hasil logaritma

Grafik fungsi logaritma tidak memiliki titik potong pada sumbu y dan tidak memiliki nilai ekstrim.

3). Fungsi Trigonometri

Fungsi Trigonometri adalah fungsi yang variabel bebasnya berupa bilangan geometris, variabel x biasanya dinyatakan dalam radian (p radian = 180). diantaranya :

y = sin x ; y = cos x ; y tan x; y = ctg x ; y = sec x ; dan y = cosec x

3. FUNGSI KHUSUS

1). Fungsi Konstan

Fungsi kontstan adalah suatu fungsi

f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.

Contoh bentuk soal :

Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3 ≤ x < 2}.

2). Fungsi Identitas

Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f(x) disebut identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggoya domain fungsi dipetakan pada diriya sendiri.

Contoh :

Cari f(-2), f(0), f(1), f(3)

f(x) = x

f(-2) = -2

f(0) = 0

f(1) = -1

f(3) = 3

Grafik :

3). Fungsi Modulus

Fungsi modulus adalah suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya. Untuk lebih memahaminya, pelajarilah fungsi berikut berikut.

f : x → | x | atau f : x → | ax + b |

f(x) = | x | artinya: x, jika x >= 0 dan -x, jika x < 0

4). Fungsi ganjil dan fungsi genap

Fungsi ganjil dan fungsi genap adalah suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x). Grafik yang tergambar berbentuk simetris dnegan titik pusat O, dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Grafik yang tergambar berbentuk simetris terhadap sumbu Y. Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.

Contoh :

1. f(x) = 2x³ + x

2. f(x) = 3 cos x – 5

3. f(x) = x² - 8x

Penyelesaian :

1. f(x) = 2x³ + x

f(–x) = 2(–x)³+ (–x)

= –2x³ – x

= –(2x³ + x)

= –f(x)

Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi ganjil.

2. f(x) = 3 cos x – 5

f(–x) = 3 cos (–x) – 5

= 3 cos x – 5

Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi genap.

3. f(x) = x² – 8x

f(–x) = (–x)² – 8 (–x)

= x²+ 8x

Fungsi f(–x) ≠ f(x) dan f(–x) ≠ –f(x).

Jadi, fungsi f(x) adalah tidak genap dan tidak ganjil.

Sifat-sifat nya meliputi :

1. Hasil penjumlahan fungsi genap dengan fungsi genap hasil nya genap juga.

2. Hasil penjumlahan fungsi ganjil dengan fungsi ganjil hasil nya ganjil juga.

3. Hasil penjumlahan fungsi genap dann fungsi ganjil hasil nya merupakan fungsi genap maupun fungsi ganjil.

4. Hasil perkalian dua fungsi genap merupakan fungsi genap.

5. Hasil perkalian dua fungsi ganjil merupakan fungsi genap.

6. Hasil perkalian fungsi genap dan fungsi ganjil merupakan fungsi ganjil.

5). Fungsi tangga (Bertingkat)

Fungsi tangga adalah suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar atau juga disebut fungsi pembulatan ke bawah, dengan domainnya bilangan real tetapi kodamainnya bilangan bulat dan grafiknya akan seperti tangga.

6). Fungsi banyak persamaan

Rabu, 31 Maret 2021

Grafik Fungsi dan Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi adalah gambar yang menyatakan hubungan matematik antar dua variabel atau lebih. Dalam ruang dimensi dua terlebih dahulu menentukan acuannya, misalnya sistem koordinat cartesius xy, yang terdiri dari :

•Satu titik asal 0

•Satu sumbu horizontal/mendatar x (ordinat)

•Satu sumbu vertikal/tegak y (absis)

Berikut adalah cara menggambar grafik pada fungsi :

Fungsi Aljabar

1. Fungsi Linier

Bentuk umum f(x) = ax+b, dimana a tidak sama dengan 0 dan b adalah bilangan konstan.

dengan:

· variabel x disebut variabel bebas.

· variabel y atau f (x) disebut variabel terikat.

· Melukis Grafik Fungsi Linier :

Berikut ini adalah beberapa langkah untuk melukis grafik fungsi linier, antara lain:

• Menentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 didapatkan koordinat A( x1, 0)

• Menentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 didapatkan koordinat B( 0, y1)

• Menghubungkan dua titik A dan B sehingga akan terbentuk garis lurus Persamaan linier yang bisa juga ditulis ditulis dengan menggunakan simbol y = ax + b. (Hal ini untuk memudahkan kita dalam memahami gambar). Apabila b bernilai positif maka fungsi linier akan dilukis garis dari kiri bawah ke kanan atas

• Apabila b bernilai negatif maka fungsi linier akan digambarkan garis dari kiri atas ke kanan bawah.

• Apabila b bernilai nol maka fungsi linier akan digambarkan garis yg sejajar dengan sumbu datar x.

Contoh : y = 6 + 2x

2. Fungsi Polinom

Bentuk umum : y = anx~ + … + a2x2 + a1x + a

Cara membuat grafik fungsi polinom :

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi polinomial:

• Menentukan titik potong dengan sumbu-x (y = 0)

• Menentukan titik potong dengan sumbu-y (x = 0)

• Menentukan titik ekstrim dengan cara turunan (y’ = 0)

Contoh :

3. Fungsi Kuadrat

Bentuk umum : f(x) = a + bx + c dimana a tidak = 0 dan a, b, c bilangan konstan dan grafiknya adalah parabola dengan pangkat tertingginya adalah dua.

Cara melukis sebuah grafik fungsi kuadrat.

-Fungsi Kuadrat Menentukan Titik Puncak

Nilai a (koefisien dari x2 dapat memberi gambaran grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas atau ke bawah. Karakteristik grafik berdasarkan nilai a:

· Jika a > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.

· Jika a < 0 maka grafik akan terbuka ke bawah.

Gambaran umum Grafik fungsi kuadrat jika dilihat dari nilai a dan D

Kemudian pada fungsi kuadrat terdapat istilah diskriminan yang memiliki bentuk:

D = b² – 4ac

Keterangan :

•Jika D > 0 maka fungsi kuadrat memiliki 2 akar yang berbeda dan memotong di dua titik.

•Jika D = 0 maka fungsi kuadrat memiliki 2 akar yang sama, sehingga kurva hanya akan menyinggung sumbu x di satu titik.

•Jika D < 0 maka kurva tidak menyentuh sumbu x sama sekali.

Contoh :

Grafik :

4. Fungsi Pecahan

Bentuk umum :

Cara menggambarkan grafik fungsi pecahan :

1. Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y (jika mudah ditentukan)

2. 1. Menentukan asimtot tegak, asimtot datar dan asimtot miring

3. 2. Menetukan interval dimana fungsi bernilai positif

4. 3. Menetukan titik ekstrim

5. 4. Menentukan titik bantu

6. 5. Melukis sketsa grafik

Terdapat 3 asimtot :

1. Asimtot tegak diproleh penyebutnya 0

2. Asimtot datar diproleh jika x menuju tak hingga

3. Asimtot miring diproleh hanya untuk jenis fungsi rasional yang pembilangnya mempunyai derajat yang lebih tinggi dari pada penyebutnya

contoh :

5. Fungsi Kubik

Fungsi kubik adalah fungsi pangkat tiga yang memiliki bentuk :

f(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D = 0

Cara membuat grafik fungsi kubik :

contoh :

FUNGSI TRANSENDEN

1. Fungsi Eksponen

Bentuk umum : y = ax.

Dengan, a>0 dan x adalah bilangan real.

Cara menggambar grafik pada fungsi eksponen :

•Ambil beberapa titik absis (x)

•Tentukan nilai ordinat (y) sekaligus titik koordinatnya

•Tentukan letak titik koordinat yang di proleh dalam bidang kartesius

•Hubungkan titik-titik yang diproleh sehingga membentuk kurva mulus

Contoh :

2. Fungsi Logaritma

Bentuk umum : y = a log x atau = b -> x = a log b, b>0, a>0, dan a tidak = 1.

dengan,

a = bilangan pokok

b = numerus

x = hasil logaritma

Contoh:

Gambarlah grafik fungsi y = 2log x!

Langkah Pertama: ambil beberapa titik absis (x) secara acak atau sembarang, sebagai masukan pilih nilai yang menghasilkan nilai logaritma yang bagus dengan cara menyesuaikan dengan nilai basisnya.

Ambil sembarang titik absis: misalnya kita akan mengambil :

x = 1/4, 1/2, 1,4, dan 8

Langkah Kedua: tentukan nilai ordinat (y) dari fungsi logaritma yang diberikan dan sekaligus menentukan titik koordinatnya .

Langkah Ketiga: tentukan letak titik koordinat yang diperoleh dalam bidang kartesius.

Langkah Keempat: hubungkan titik-titik yang diperoleh sehingga membentuk kurva mulus.

Kelima titik koordinat yang diperoleh adalah dan (8,3). Letak kelima titik koordinat diberikan seperti gambar berikut.

3. Fungsi Trigonometri

Fungsi Trigonometri adalah fungsi yang variabel bebasnya berupa bilangan geometris, variabel x biasanya dinyatakan dalam radian (p radian = 180). diantaranya :

y = sin x ; y = cos x ; y tan x; y = ctg x ; y = sec x ; dan y = cosec x

Cara menggambar grafik fungsi :

Nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa berperan penting dalam melukiskan bentuk grafiknya. Inilah tabel perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa.

1. Melukis grafik fungsi sinus menggunakan tabel

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

a. Gunakan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa dengan sudut relasi sebagai x.

b. Melengkapi nilai pada tabel, lalu tulis pasangan koordinat titik-titiknya dalam radian atau derajat.

c. Lukis titik tersebut dalam koordinat kartesius yang sesuai.

d. Lukis kurva melalui titik-titiknya.

Melukis grafik fungsi kosinus menggunakan tabel

Sama seperti grafik fungsi sinus, untuk kosinus kamu bisa menentukan terlebih dahulu nilai kosinus sudut-sudut istimewanya.

>LIMIT FUNGSI

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p.

1). Limit Fungsi f(x) untuk x => a, a ≠ 0.

Perhitungan limit fungsi f(x) untuk x --> a, a ≠ 0 atau ditulis, dapat dilakukan melalui tiga cara, yaitu substitusi langsung, pemfaktoran, dan rasionalisasi bentuk akar.

Jika dengan cara substitusi langsung dihasilkan bentuk tak tentu.

maka perhingga limit dilakukan dengan cara pemfaktoran atau rasionalisasi bentuk akar.

2). Limit Fungsi F(x) untuk x => 0

Perhitungan limit fungsi f(x) untuk x → 0 atau di tulis :

Pada prinsipnya sama seperti perhitungan pada :

3). Limit Fungsi f(x) → ~

^{Perhitungan
limit fungsi yang berbentuk :}

^{Jika disubstitusikan langsung menghasilkan bentuk tak
tentu.}

^{Sehingga perhitungannya dilakukan dengan cara membagi pembilang
f(x) dan penyebut f(x) dan penyebut g(x) dengan xn, yang mana n adalah
pangkat tertinggi dari penyebut f(x). Perhitungan limit fungsi
yang berbentuk.}

Teorema fungsi :

Sifat Limit Fungsi

Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka berlaku teorema-teorema berikut.

2. Limit Fungsi Trigonometri

Limit fungsi trigonometri memiliki definisi sebagai nilai terdekat suatu sudut dalam fungsi trigonometri. Perhitungan ini dapat disubstitusikan layaknya limit fungsi aljabar, tapi dengan fungsi trigonometri yang harus diubah terlebih dahulu.

Rumus-rumus limit fungsi trigonometri yang lain, yaitu :

1. Teorema L'Hospital

Dalil L'Hospital, kita sanggup menuntaskan limit dukungan fungsi ^f(x)⁄_g(x) yang tidak terdefenisi dengan memakai dukungan turunan fungsi f(x) dan g(x). melaluiataubersamaini kata lain, jikalau f(x) = g(x) = 0 atau tidak terhingga, maka limit dari dukungan fungsi tersebut sanggup diselesaikan dengan limit hasil bagi turunannya.

Bentuk umum :

Jika, menghasilkan bentuk tak tentu (0/0),

Jika masih menghasilkan bentuk (0/0), maka nilai dapat ditentukan dari turunan kedua, yaitu :

Rabu, 07 April 2021

LIMIT FUNGSI ALJABAR

A. Pengertian Limit Fungsi Aljabar

Limit dapat adalah suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit. Suatu fungsi biasanya tidak terdefinisi pada titik-titik tertentu, walaupun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, namun masih dapat dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu semakin didekati yaitu dengan limit.

Dalam bahasa matematika, limit dituliskan dengan:

B. Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar

Apabila n merupakan bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku.

C. Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Ada 2 bentuk dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu:

Bentuk pertama

Bentuk kedua

Ada beberapa metode atau cara penyelesaian untuk limit aljabar, diantaranya yaitu :

· Metode subsitusi

· Metode pemfaktoran

· Metode memagi dengan pengkat tertinggi penyebut

· Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang pertama ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu dengan cara substitusi dan cara pemfaktoran.

1. Cara Substitusi

Cara substitusi ini langkahnya dengan mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya.

2. Cara Pemfaktoran

Cara pemfaktoran digunakan apabila cara substitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisikan seperti pada contoh berikut:

Cara pemfaktoran dilakukan dengan langkah menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebuntya. Berikut beberapa contoh untuk dipahami.

Contoh :

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang kedua ada beberapa cara dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut dan metode mengalikan dengan faktor sekawan.

1. Metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut

Contoh :

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal ini adalah 2, maka :

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

2. Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Contoh soal:

Tentukan nilai limit dari

Pertama yang perlu dilakukan untuk menentukan nilai suatu limit yaitu dengan mensubtitusikan x=c ke f(x), sehingga dalam kasus ini substitusikan
x=4 ke

Rabu, 14 April 2021

LIMIT FUNGSI BILANGAN EULER (e)

& LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Bilangan Euler

Bilangan Euler (Euler’s Number) atau bilangan e merupakan bilangan euler adalah salah satu konstanta matematis berupa bilanan irasional dengan nilai 2,7182….. yang di namai dari matematikawan Leonhard Euler. Nilai tersebut merupakan pendekatan dari aplikasi konsep limit berikut. Terdapat teorema limit bilangan euler. Teorema ini sangat penting dalam menyelesaikan soal soal hitungan limit yang berkaitan dengan bilangan euler. Barisan bilangan dapat dianggap sebagai fungsi dengan domain bilangan asli. Misalkan diberikan fungsi dengan n bilangan asli.

Rumus fungsi tersebut dapat dikembangkan dengan menerapkan Ekspansi Newton, yaitu :

Untuk n→∞, ditulis

Teorema 1 : Limit euler

Contoh :

Limit fungsi trigonometri

Trigonometri merupakan cabang dari ilmu matematika yang mempelajari hubungan antara panjang dan sudut segitiga, biasanya digunakan dalam membuat desain bangunan, pembuatan jembatan, dan pada bidang astronomi.

Sedangkan limit trigonometri merupakan nilai paling dekat dari suatu sudut. Istilah-istilah yang ada dalam trigonometri yaitu sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), secan (sec), cosecan (csc), dan cotangent (ctg).

Rumus dasar limit trigonometri :

Cara yang bisa digunakan untuk menentukan nilai limit suatu fungsi trigonometri adalah sebagai beirikut :

Metode Numerik
Subtitusi
Pemfaktoran
Kali Sekawan
Menggunakan Turunan

Macam – Macam Trigonometri

A. Macam – macam trigonometri

Sinus ( sin )
Tangen ( tan )
Cosinus ( cos )
Cotongen ( cot )
Secan ( sec )
Cosecan ( Csc )

B. Rumus kebalikan dalam trigonometri

sin∝ = 1/csc∝
cos∝ = 1/sec∝
tan∝ = 1/cot∝
tan∝ = sin∝/cos∝
cot∝=cos∝/sin∝

C. Identitas Trigonometri dalam trigonometri

Sin²∝ + cos²∝ =1

1+cot²∝=csc²∝

Tan²∝+1=sec²∝

D. Rumus Jumlah dan Selisih dalam trigonometri

E. Rumus Perkalian dalam trigonometri

F. Rumus sudut rangkap dalam trigonometri

Limit fungsi trigonometri x mendekati suatu bilangan

Untuk dapat menentukan berapa nilai limit fungsi trigonometri untuk x mendekati sebuah bilang c sebenarnya bisa dilakukan dengan mudah. Caranya adalah dengan melakukan subsitusi nilai c pada fungsi trigonometri. Berikut ini adalah persamaan rumus limit fungsi trigonometri:

Untuk lebih jelasnya kami akan memberikan contoh soal penggunaan rumus limit fungsi trigonometri untuk x mendekati suatu bilangan.

Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :

1. Bentuk terdefinisi (tertentu) yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu.

2. Bentuk tak terdefinisi yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai.

3. Bentuk tak tentu yaitu bentuk yang nilainya sembarang.

Limit Fungsi Trigonometri Untuk x mendekati 0 (teorema 1)

Limit Fungsi Trigonometri hanya berlaku pada saat x → c, Ɐc ∈ R (Teorema 2)

Contoh :

Rabu, 21 April 2021

KONTINUITAS

Menurut kamus besar bahasa Indonesia (KBBI), arti kata kontinu adalah berkesinambungan; berkelanjutan; dan terus menerus. Jadi fungsi f dikatakan kontinu di a jika tidak ada gangguan di grafik fungsi f di titik x = a.

Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik a jika dan hanya jika memenuhi tiga syarat berikut

Sedangkan fungsi f dikatakan kontinu di suatu interval buka (a,b) jika dan hanya jika fungsi f kontinu di setiap titik di dalam interval tersebut.

Lawan kata kontinuitas adalah diskontinuitas, fungsi f dikatakan tidak kontinu (diskontinu) di suatu titik a jika memenuhi salah satu dari tiga keaadaan tersebut.

Contoh :

Rabu, 2 Juni 2021

BENTUK LIMIT TAK TENTU-LIMIT FUNGSI

Ada beberapa macam limit tak tentu yaitu, sebagai berikut :

Berikut beberapa bentuk penyelesaian contoh limit tak tentu :

1. Bentuk Tak Tentu 0/0

Penyelesaian :

Contoh :

2. Bentuk Tak Tentu Tak hingga per Tak hingga

Penyelesaian :

Contoh :

3. Bentuk Tak Tentu 0. Tak hingga

Penyelesaian :

Contoh :

4. Bentuk Tak Tentu Tak hingga - Tak hingga

Penyelesaian :

Contoh :

5. Bentuk Tak Tentu 0^0

Penyelesaian :

Contoh :

6. Limit Tak Tentu Tak hingga ^ 0

Penyelesaian :

Contoh :

7. Bentuk Tak Tentu 1 ^ Tak Hingga

Penyelesaian :

Contoh :

Rabu, 9 Juni 2021

TURUNAN

Turunan Fungsi

Contoh 1 :

Contoh 2 :

Contoh :

ATURAN RANTAI

Rabu, 16 Juni 2021

TURUNAN IMPLISIT

1. Turunan Implisit

Fungsi implisit yaitu fungsi yang memuat dua variabel atau lebih. Variabel-variabel tersebutterdiri dari variabel bebas dan variabel tidak bebas. Biasanya variable-variabel tersebutdinyatakan dalam x dan y. Dimana variabel x dan y terletak didalam satu ruas sehingga tidak dapat dipisahkan menjadi ruas yang berbeda (baca : ruas kiri dan ruas kanan) sepertihalnya fungsi eksplisit. Fungsi Implisit adalah secara umumdapat ditulis sebagai f (x,y) = 0 , denganya sebagai fungsi dalam x . Fungsi ini dapat dinotasikan dengan y = f (x) yangdisebut fungsi eksplisit , yaitu antara variabel bebas dan variabel tak bebasnya di tulisdalam ruas yang berbeda.