Aljabar Linier Matriks 1

Assalamu'alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Nama                      : Nadila Danti Lestari

NIM                        : 202031038

Dosen Pembimbing: Ibu Efy Yosrita S.Si., M.Kom.

Fakultas Telematika Energi

Program Studi        : Teknik Informatika

~Resume

MATRIKS

Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan bilangan real (kompleks) berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh tanda kurung.

   Istilah-istilah:

• Lambang matriks menggunakan huruf besar A, B, C            
• Elemen matriks menggunakan lambang huruf kecil a, b, c
• Bagian mendatar disebut baris
• Bagian tegak disebut kolom
• Indeks i menyatakan baris, sedangkan indeks j menyatakan kolom
• Jumlah baris = m, dan jumlah kolom = n
• Ukuran matriks disebut ordo
• Matriks dengan jumlah baris = m, dan jumlah kolom = n disebut dengan ukuran atau ber-ordo (mxn) 

Jenis-jenis Matriks

1. Matriks Bujur Sangkar

A dikatakan matriks bujur sangkar jika jumlah baris dan jumlah kolom A sama. Matriks A dikatakan berordo n.

Contoh:  

 

Matriks A berordo 4, diagonal utama A adalah 0, 0, 0, 0.    

 

2. Matriks Segitiga Atas

A dikatakan matriks segitiga atas jika angka di bawah diagonal utama pada matriks bujur sangkar adalah 0.

Contoh:                                                                                                                                                          

  

Elemen diagonal utamanya adalah 3, 9, -7, 2, 8

3. Matriks Segitiga Bawah

A dikatakan matriks segitiga bawah jika angka di atas diagonal utama pada matriks bujur sangkar adalah 0.

Contoh:

       

Diagonal utama-nya adalah 1, 4, 7, 2, 8

4. Matriks Diagonal = D

Matriks diagonal merupakan matriks bujur sangkar yang dimana semua elemen selain diagonal utama adalah nol dan diagonal utama adalah bukan nol. Matriks ini dinotasikan sebagai D.

Contoh:

 

5. Matriks Identitas = I

Matriks identitas merupakan matriks bujur sangkar yang elemen-elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan yang lainnya adalah nol.

Contoh:

6. Transpose Matriks = Aᵀ

Transpose matriks disimbolkan dengan Aᵀ. Matriks transpose Aᵀ ialah sebuah matriks yang dapat diperoleh dengan cara menukar elemen pada baris menjadi elemen pada kolom. Sehingga Aᵀ berukuran (nxm)

Contoh:

7. Matriks  simetris, A = Aᵀ

Matriks simetris merupakan matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya sama dengan elemen-elemen di bawah diagonal utamanya.

Contoh:

8. Matriks Baris 

Matriks baris merupakan matriks yang terdiri atas satu baris. 

Contoh:    A= ( 1 3 4 9 )

9. Matriks kolom

Matriks kolom merupakan matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

Contoh:

 

10. Matriks Nol

Matriks nol merupakan matriks yang semua elemennya adalah nol dan ditulis dengan huruf O.

Contoh:

 

11. Matriks Skalar

Matriks skalar merupakan matriks yang unsur-unsur diagonal utamanya sama, dan selainnya adalah nol.

Contoh: 

12. Matriks Mendatar 

Matriks mendatar merupakan  matriks yang jumlah kolomnya lebih banyak dari jumlah baris.

Contoh:

13. Matriks Tegak

Matriks tegak merupakan matriks yang memiliki jumlah barisnya lebih banyak dari jumlah kolom.

Contoh:

14. Matriks Skew Simetris

Matriks skew simetris (anti-simetri), yaitu suatu matriks persegi yang apabila ditransposkan akan sama dengan negatif dari matriks semula. Misalkan $A$ adalah matriks persegi. Matriks $A$ dikatakan skew simetris jika dan hanya jika $A^T=-A$. Syarat lainnya yaitu semua elemen yang berada di diagonal utama bernilai nol.

Contoh:

OPERASI ARITMATIK MATRIK 

1. Kesamaan A=B

Dua matriks dikatakan sama jika dua matriks tersebut memiliki ordo yang sama dan elemen-elemen matriks yang bersesuaian sama. Apabila disimbolkan, A = B jika aij = bij untuk setiap i dan j.

Contoh:

  

A dan B berukuran sama (2x3) tetapi A dan tidak sama, karna terdapat elemen seletak nilainya tidak sama.

2. Perkalian dengan Skalar, kA

Perkalian skalar didefiniskan bahwa setiap eleman A dikalikan dengan konstanta tak nol k, yakni: 

kA=[kaij]=[kaij]

Contoh:

3. Penjumlahan (A+B)

 Dua matriks yaitu A= (aij ) dan B= (bij)   dapat dijumlahkan jika A dan B berukuran atau berordo sama. Bila A+B= C, maka elemen matriks diberikan: (aij )+(bij) = (cij)  Elemen seletak dijumlahkan.

Contoh:

A+B= C

Sifat-sifat penjumlahan

1.  A + B = B + A (Sifat komutatif)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (Asosiatif)
3. A + O = O + A = A (Identitas penjumlahan)
4. A + (– A) =  (–A) + A = O (Invers penjumlahan)

4. Pengurangan (A-B)

Dua matriks yaitu A= (aij ) dan B= (bij)   dapat dikurangkan jika A dan B  berukuran atau berordo sama. Bilamana A-B= D.

Contoh:

5. Perkalian matriks (AB=C)

Matriks A= [aij] (m=n) dan B= [bij ](pxq) dikatakan dapat dikalikan dan ditulis AB apabila jumlah kolom A dan jumlah baris B sama [n=p].

 A(mxn)B(pxq) = C(mxq)

Contoh:

 

Belajar bersama Nadila"

DETERMINAN MATRIKS

Fungsi determinan matriks bujur sangkar A dinyatakan dengan det(A)=|A|, didefinisikan sebagai jumlahan hasil kali elementer elemen-elemen bertanda A.

Kasus “n=1”

A=A=[a], det(A) =|a| = a 

Kasus “n=2

 maka 

Kasus “n=3”, menggunakan Metode Sarrus

Contoh:

Metode Ekspansi Laplace

A adalah matriks bujur sangkar  berordo (nxn).

(1). Minor elemen matrik A baris ke-i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis M_ij didefinisikan sebagai determinan matriks berordo (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan cara menghilangkan baris ke-I dan kolom ke-j

(2). Kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j ditulis C-ij didefinisikan sebagai:

Contoh:

Contoh: Minor

M11 determinan matriks berordo (3x3) baris ke-1 dan kolom ke-1 dari matriks dihilangkan.

M41 determinan matriks (3x3) baris ke-4 kolom ke-1 dari matriks A dihilangkan.

 

Determinan Metode Ekspansi Laplace

Andaikan, A=[a_ij] (nxn) adalah matriks bujur sangkar berordo (nxn), 

dan C_ij = (-1)^i+j M_ij adalah kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j.

Contoh: hitunglah det(A) dengan ekspansi kofaktor

Hitunglah determinan matriks A

Ekspansi Kofaktor garis

Hitunglah determinan matriks A

Ekspansi kofaktor kolom

yuk belajar!!

Determinan Matriks : Metode Chio dan 

Dekomposisi: Metode Crout

METODE CHIO

 

Andaikan, A = [aij] (nxn), dan (a11) tidak = 0,

Metode Chio dikenal jug dengan rumus mereduksi ordo atau ukuran matriks. Reduksi ordonya dapat juga menggunakan elemen matriks yang lain, tidak harus menggunakan a11.

Apabila ukuran matriksnya diperluas atau diperumum menjadi n x n , maka diperoleh persamaan untuk metode CHIO adalah sebagai berikut.

Perhatikan untuk matrik dengan ordo 3 x 3. Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

Selanjutnya untuk matrik dengan ordo 4 x 4. Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

Contoh: Matriks berordo 3x3

Hitunglah det. A dari:

Jadi a11 = 2 dan n = 3

Contoh: Matriks berordo 4x4

Hitunglah det. A dari:

jadi, a11 = 2 dan n = 4

Metode Crout Dekomposisi

Rumus umum untuk mencari L dan U degan metode crout adalah:

Dalam membahas metode reduksi crout, tinjau matriks 3x3 berikut:

Karena LU = A, maka hasil perkalian L dan U itu dapat itulis sebagai:

Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 3

Iterasi 4

Iterasi 5

Contoh:

Hitunglah determinan matriks 3x3 berikut dengan metode dekomposisi crout

 

Jawab:

Kasus n = 4; Metode Crout

Contoh:

Hitunglah determinan matriks 4x4 berikut dengan metode dekomposisi Crout

Metode Doolittle

Rumus Umum Metode Doolittle untuk mencari L dan U  adalah sebagai berikut :

 

 

 

Kasus n = 3

 

 Rumus Perhitungannya : 

 

 

Contoh soal : n = 3

Kasus n = 4

Rumus perhitungannya : 

Contoh soal : 

          Invers Matriks

* Matriks bujur sangkar A dikatakan mempunyai Invers, jika terdapat matriks B sedemikian rupa sehingga :  AB = BA = I, dimana I adalah matriks Identitas.

Contoh: AB = BA = I

Metode-metode menghitung Matriks:

* Metode Adjoint Matriks

* Metode Operasi Elementer Baris

* Metode Perkalian Invers Matriks Elementer

* Metode Partisi Matriks

* Program Komputer- MATCADS, MATLAB

* WS OFICE EXCELL

1. Metode Adjoint

Andaikan A matriks bujur sangkar berordo (nxn), Cij = (-1)i+j Mij kofaktor elemen matriks aij, dan andaikan pula det(A) tidak sama dengan 0, maka A mempunyai invers yaitu:

dimana, 

Kasus : n = 2 maka

Kasus : n = 3 

Contoh soal: 

 det(A) = 1

Kasus : n = 4

Contoh soal: 

det(A) = -1

 

Pembuktian A x B

  Terbukti

Pembuktian dengan cara B x A

  Terbukti

Metode OBE

Ketentuan:

- Menukar baris dengan baris lainnya

- Mengkalikan sebuah baris dengan bilangan bukan nol

- Menjumlahkan kelipatan baris dengan baris lainnya

Contoh:

Perkalian Matriks Elementer

(1) Matriks elementer adalah matriks yang diproleh dari operasi elementer yang dikenakan pada matriks Identitas.

(2) Setiap matriks elementer mempunyai invers, dan setiap matriks bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers ekivalen baris terhadap matriks identitas 

(3) Akibatnya, jika :

Contoh: 3 x 3

Mengitung E1, E2:

Menghitung  E3:

Contoh: 4 x 4

Menghitung E1, E2:

Menghitung E3:

Menghitung E4 dan invers:

INVERS: Partisi Matriks (1)

Partisi matriks A adalah sub matriks- sub matriks yang diproleh dari A dengan cara memberikan batasan-batasan garis horisontal dan vertikal diantara dua baris.

Contoh: 

INVERS : Partisi Matriks (2)

Andaikan A matriks bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers, yaitu : A-1 = B, dan partisinya masing-masing adalah :

Karena AB = BA = I, maka

Metode Partisi:

Contoh:

Kasus n = 4

Jawab:

Menghitung L:

Menghitung Invers matriks:

Contoh : 

Jawab:

Menghitung L

Menghitung Invers matriks

SISTEM PERSAMAAN  LINIER (SPL)

Sistem Persamaan Linier (SPL) adalah sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier di dalam variabel-variabel x1, x2, x3, ...., xn.

Secara umum di definisikan dengan n buah variabel a1x1+ a2x2 +....+anxn = b, dimana a1, a2, a3, ....., an adalah konstanta bilangan real.

Contoh persamaan linier:

Contoh bukan persamaan linier:

 

Cara mencari penyelesaiannya (SPL) :

1 Grafik

2. Subsitusi

3. Eliminasi 

4. Metode Gauss

5. Metode Gauss-jordan

1. Metode Grafik

* Langkah 1:

- Gambar grafik masing-masing persamaan pada bidang Cartesius.

* Langkah 2:

a. Jika kedua garis berpotongan paa satu titik maka himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu anggota

b. Jika kedua garis sejajar, maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota. Dikatakan himpunan penyelesaian adalah himpunan kosong

c. Jika kedua garis berimpit maka himpunan penyelesaiannya memiliki anggota yang tak hingga banyaknya

a. Memiliki Solusi

b. Tidak Memiliki Solusi

c. Solusi Tak Berhingga

2. Metode Subsitusi

Langkah 1:

Pilih salah satu persamaan (jika ada pilih yang sederhana) kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x.

Langkah 2:

Subsitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan lain.

Contoh:

3. Metode Eliminasi

Nilai x di cari dengan cara mengeliminasi peubah y sedangkan nilai y di cari dengan cara mengeliminasi peubah x.

Contoh:

4. Metode Gauss 

Merubah sistem persamaan linier menjadi bentuk matriks [A][X] = [C] 

Terdiri dari 2 tahap yaitu:

a. Forward Elimination of Unknowns (Eselon Baris)

b. Back Subtitution

SPL => Matriks

a. Eselon Baris 

Jika sebuah baris terdiri dari seluruhnya dari angka nol, maka bilangan tak nol pertama adalah 1.

Jika ada suatu baris yang terdiri dari seluruhnya dari nol, maka baris seperti itu dikelompokan bersama-sama dibawah matriks.

Contoh:

Forward Elimination

b. Back Substitution

-) Setelah di dapat hasil x4 = 4

-) Lakukan subsitusi x4 ke pers. diatasnya untuk mencari x3

-) Lakukan lagi subsitusi x3, dan x4 ke pers. diatasnya untuk mendapatkan x2

-) terakhir lakukan subsitusi x2, x3, x4 ke pers. pertama untuk mendapatkan x1

5. Metode Gauss-Jordan

Proses lanjutan dari eliminasi gauss.

Menggunakan bentuk matriks eselon baris yang di reduksi.

Contoh:

Jadi, di dapat hasil: x1 = 8/3  x2 = 2/3

6. Metode Crammer

Andaikan AX = B adalah sistem Pers. linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak di ketahui.

Andaikan determinan matriks A tidak sama dengan 0, maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal yaitu,

Dimana di = det(A) yaitu:

Contoh:

Jawab:

Bentuk matriks SPL, AX = B,

Karena,

Contoh (2):

Jawab:

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Andaikan A matriks bujur sangkar berordo n x n, vektor taknol x di dalam Rn dikatakan vektor eigen A, jika terdapat skalar taknol sehingga,

Contoh:

Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari:

Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)

Untuk menghitung nilai eigen matriks A berordo n x n tulislah:

dimana syaratnya adalah:

Teknik Menghitung Nilai Eigen (2):

Contoh:

Contoh:

DIAGONALISASI

Contoh :

Metode Horner :

DIAGONALISASI ORTOGONAL

Tambahan 

1. Ruang N Euclides 

2. Ruang Vektor

3. Kombinasi Linier

4. Membangun Ruang Vektor

5. Kebebasan Linier

BASIS RUANG DENGAN BARIS, BASIS RUANG DENGAN KOLOM, RANK, DAN NULITAS

* DIMENSI 

      

  Dimensi adalah vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga {v1, v2, v3... Vn} yang membentuk suatu baris. Jika tak ada himpunan yang seperti itu, maka V disebut tak hingga.

RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM

Jika A adalah matriks mxn maka sub ruang Rn yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A di sebut ruang baris dari A. Subruang dari Rm yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A.

Basis ruang baris :

RANK dan NULITAS

Dimensi dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks A disebut rank dari A dan di nyatakan sebagai rank (A). Dimensi dari  ruang nul dari A disebit sebagai nulitas dari A dan di nyatakan sebagai nilitas (A).

    

Jadi, NULITAS (A) = 4

TRANSFORMASI LINIER

Definisi :

* Penjelasan tambahan